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Notions
de résistance des matériaux
Résistance des pièces mécaniques
Les règles de la bonne construction obligent à choisir les formes et les dimensions
des pièces en tenant compte des conditions dans lesquelles ces pièces sont placées.
Pour savoir faire ce choix, il faut
- connaître les propriétés physiques et les caractéristiques mécaniques des
matériaux utilisés ;
- identifier les efforts auxquels sont soumises les pièces;
- calculer leurs dimensions en fonction de ces propriétés et de ces efforts.
Ces études sont du ressort de la technologie générale et de la mécanique.
Propriétés mécaniques des métaux
Les métaux sont élastiques.
Lorsqu'on parle de corps élastique, on pense tout de suite au caoutchouc.
Un fil de caoutchouc est élastique parce que, si après I'avoir allongé en exerçant
sur lui une traction, on cesse de le solliciter, il reprend aussitôt sa longueur
initiale.
| Faisons l'expérience avec un fil d'acier de 2
mm de diamètre et de 1m de longueur, en suspendant à ce fil une masse de 50 kg. a)
Nous pouvons mesurer un allongement qui est par exemple 0,8 mm.
b) Si nous enlevons la masse, le fil reprend exactement sa longueur primitive.
c) Le fil d'acier est donc élastique. |
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Essai de traction.
On mesure les qualités d'un métal aux points de vue élasticité, résistance et
plasticité par un essai de traction.
Une éprouvette est saisie par les mâchoires
d'une machine qui exerce sur elle des efforts croissants tendant à l'allonger. |
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A chaque instant, la charge totale appliquée à l'éprouvette est mesurée.
Le quotient de la charge totale appliquée, par la section de l'éprouvette est appelé
" charge unitaire ".
| Le graphique représentant les allongements
en fonction des charges unitaires à l'allure de la figure ci-contre.
Dans une première période, l'éprouvette soumise à des charges croissantes se
déforme élastiquement. On constate de plus que les allongements sont proportionnels aux
efforts (cette propriété est caractéristique des déformations élastiques).
Pour une certaine charge unitaire dite " limite apparente d'élasticité ",
l'éprouvette continue pour la première fois à s'allonger sans que la charge augmente
(symbole Re). |
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| Pour une certaine charge unitaire dite
" limite conventionnelle d'élasticité " à A% l'allongement non proportionnel
à la charge vaut A% de la longueur initiale de l'éprouvette |
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| Dans une seconde période, les déformations
sont permanentes. la charge unitaire augmente jusqu'à un maximum dit " résistance
à la traction " Enfin I'allongement continue à se produire provoquant une baisse
de la charge unitaire. En un point de l'éprouvette se produit une " striction "
puis il y a rupture.
Sur l'éprouvette cylindrique de section 78,5 m m2, on a marqué deux repères
éloignés de 50 mm (Lo,). Après rupture, on rapproche les deux morceaux. La distance
mesurée entre les deux repères est, par exemple, 58,5 mm (Lu). |
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Quelques valeurs de R et Re.
| Les valeurs données par le tableau ci-contre
sont obtenues par des essais tels que celui qui vient d'être .Les éprouvettes sont
usinées soigneusement dans du métal parfaitement sain. Les essais sont conduits
lentement, sans effet de choc. Les caractéristiques mesurées sont donc les meilleures
que le métal considéré puisse donner. Les conditions réelles d'utilisation exigent
que, lors des calculs, on ne tienne compte que d'une résistance 3 à10 fois plus faible
(" coefficient de sécurité - 3 à10 "). D'autre part, il faut savoir que
les traitements mécaniques (écrouissage) ou thermiques (trempe, etc.) influent fortement
sur les caractéristiques de certains métaux. |
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LES SOLLICITATIONS
Suivant les différentes déformations que prend un corps sous l'action des forces
extérieures qui lui sont appliquées. on dit que ce corps est diversement "
sollicité ".
Les différentes sollicitations simples sont : l'extension (ou traction), la
compression, le cisaillement, la flexion,, la torsion.
| Extension. Lorsqu'un corps est
sollicité à l'extension, c'est-à-dire lorsqu'il s'allonge, les efforts qui lui sont
appliqués se ramènent à deux forces égales et opposées orientées dans le sens
convenable. Exemple : La barre AC est sollicitée à l'extension. |
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| Compression. Un corps comprimé se
raccourcit. Les efforts qui lui sont appliqués sont, comme pour l'extension, égaux et
opposés, mais ils sont orientés à l'inverse . Il faut aussi que le corps soit
suffisamment court ou, s'il est long, qu'il soit guidé de telle manière qu'il ne puisse
fléchir |
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| Cisaillement Les efforts ont encore
la même disposition que dans le cas précédent. Généralement. ils sont appliqués
perpendiculairement à l'axe de la barre. Le corps est soutenu de telle sorte que ses deux
tronçons, placés de part et d'autre de sa section dans le plan de laquelle agissent les
forces, ne peuvent que glisser l'un sur l'autre .
Exemple rivet peu serré .
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| Flexion. L'axe de la barre fléchit,
c'est-à-dire change de courbure, lorsque les forces qui lui sont appliquées exercent sur
elle des moments (dits fléchissants) tendant à faire tourner ses sections droites les
unes par rapport aux autres, autour d'axes perpendiculaires à sa direction générale.
Exemple : poutre supportant un chariot monorail .
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| Torsion. Un corps est tordu (ses
fibres se déforment en hélice) lorsque les efforts extérieurs qui lui sont appliqués
se réduisent à deux couples de moments opposés agissant dans des plans perpendiculaires
à son axe . Ces moments (dits de torsion) tendent à faire tourner les sections droites
les unes par rapport aux autres, autour de l'axe perpendiculaire à leur plan passant par
leur centre de gravité. Exemple : clé à douille. |
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DÉFORMATIONS ET CONTRAINTES
Une pièce sollicitée se déforme
 | Une pièce tendue s'allonge. |
| Une pièce comprimée se raccourcit. |
| Deux sections contiguës d'une pièce cisaillée glissent l'une sur l'autre. |
| Lorsqu'une pièce est tordue, chacune de ses sections glisse en tournant par rapport aux
sections contigües. |
Généralement, le calcul à pour but de garantir une déformation entièrement
élastique. Mais certains cas exigent de prévoir la déformation permanente (pliage d'une
tôle, emboutissage) ou même la rupture (poinçonnage, goupillage de sécurité).
Contrainte.
Lorsqu'une pièce est sollicitée, chaque élément de section déformée résiste a un
certain effort. C’est la valeur de cet effort évaluée pour l'unité d'aire de la
section qui est la contrainte
t : contrainte tangentielle (ou " de
glissement ") si elle est dans la direction de la section (cisaillement, torsion).
s :contrainte normale, si elle est
perpendiculaire à la section (extension, compression, flexion).
Comme la charge limite d'élasticité à laquelle elle doit rester inférieure, la
contrainte s'évalue dans le système légal en N/mm²
Pour une raison évidente d'économie de métal, on a intérêt à
déterminer la forme d'une pièce de manière que la contrainte en chacun de ses points
soit égale à la contrainte maximale admissible, mais la réalisation est parfois
éxagérément coûteuse
Pièces tendues.
Les efforts de traction auxquels une barre est capable de résister sont proportionnels
à l'aire de sa section et sont indépendants de la forme de celle-ci.
Il en résulte
a) Que la contrainte, constante en tous les points de la section, vaut : s = N/S
b) conditions de résistance .
La résistance pratique (contrainte maximale admissible) à l'extension Rpe, est
égale à :
Rpe = Re/s
Avec s coefficient de sécurité, plus souvent comprise entre 3 et 10.
Exemple : un acier E 30 (Re= 280 N/mm²) pour lequel on aurait choisi un coefficient de
sécurité 4 aurait une résistance pratique Rp = 280/4 = 70 N/mm²
s calculé < spe
N/S< spe
Plus le coefficient de sécurité est grand, moins la construction est à la merci d'un
dépassement accidentel de Re.
II faut noter également que toute variation brutale de la section d'une pièce,
surtout si elle est obtenue par usinage, provoque une " concentration de contrainte
". La pièce peut alors être jusqu'à 3 ou 4 fois moins résistante que si elle
avait partout sa plus faible section.
c) Allongement.
Nous avons vu que, si la déformation est élastique, elle est proportionnelle à la
contrainte. Le coefficient de proportionnalité est dit
" module d'élasticité longitudinale "
Allongement relatif s = Ee avec s contrainte, E module d'élasticité longitudinale, et e allongement élastique unitaire (Dl/l)
Pièces comprimées.
Le raisonnement ci-dessus est intégralement applicable au cas d'une pièce comprimée
.
Seule la valeur numérique de la résistance pratique peut être différente, dans le
cas de la compression, de ce qu'elle est dans le cas de l'extension, à coefficient de
sécurité égal.
Pour les aciers courants, on admet que: Rpc = Rp
Pour les fontes :
Rpc = 2 à 4 Rp.
Pièces cisaillées.
Le raisonnement fait à propos de l'extension est applicable au cas d'un cisaillement.
L'effort extérieur appliqué à la pièce est couramment appelé effort tranchant.
Les résistances pratiques au cisaillement sont généralement différentes des
résistances pratiques à la traction.
Pour les aciers au carbone à faible teneur : Rpg ~ 0,5 Rp
Pour les aciers au carbone à forte teneur et les aciers alliés
0,6 Rp < Rpg < 0,8 Rp
Pour la fonte : Rpg = Rp
| Pièces fléchies. La barre AB de
section rectangulaire fléchit plus fortement lorsqu'elle est placée " à plat
" que lorsqu'elle est placée " sur chant ". Tel est le fait
d'expérience courante qu'il nous faut expliquer.
Sous I'action de l'effort F et des actions des appuis , la barre se déforme. Les
" fibres " de métal telles que A1, B1 s'allongent, elles sont tendues;celles
telles que A2,B2, sont comprimées.
Les unes et les autres sont d'autant plus allongées ou raccourcies qu'elles sont plus
éloignées de la couche de "fibres neutres " (c'est-à-dire non déformées)
situées dans la région moyenne. |
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Cours de résistance des matériaux
1) Hypothèses
2) Torseur de cohésion
3) Sollicitations
4) Notion de contrainte
5) Concentration de
contrainte
1) Hypothèses
Pour faire une étude de résistance des matériaux, nous avons besoin de faire des
hypothèses simplificatrices.
Une fois que ces hypothèses sont définies, nous pouvons nous lancer dans l'étude.
2) EFFORTS INTERIEURS ou
Torseur de cohésion
Soit une poutre P, en équilibre sous l’effet d’actions mécaniques
extérieures.
Pour mettre en évidence les efforts transmis par la matière au niveau de la section S,
nous effectuons une coupure imaginaire dans le plan S. Il la sépare en deux tronçons E1
et E2.
On isole le tronçon E1.
-Les actions mécaniques que le tronçon E2 exerce sur le tronçon E1
à travers la section droite S sont des actions mécaniques intérieures à la poutre E.
Nous en ignorons à priori la nature, cependant la liaison entre E1 et E2 peut être
modélisée par une liaison complète. On peut donc modéliser l’action mécanique E2
sur E1 par un torseur appelé torseur de cohésion noté :
 avec
G Î ligne moyenne
PAR CONVENTION on prendra toujours pour  l’action mécanique de la partie droite sur la partie gauche Þ 
Détermination du torseur de cohésion :
On fait une étude statique de l’équilibre des tronçons E1 ou E2.
- Equilibre de E1 (Somme des efforts à gauche) :
Système
matériel isolé : Le tronçon E1.
Principe fondamental de la statique :
 Û
 Û 
- Equilibre de E2 (Somme des efforts à droite) :
Système matériel isolé : Le
tronçon E2.
Principe fondamental de la statique :
 Û
 Û
 Û
- Conclusions :
Chaque tronçon est en équilibre et l’application du
PFS, à l’un et à l’autre, permet de faire apparaître et de calculer les
efforts intérieurs (torseur de cohésion) exercés au niveau de la coupure.
torseur de cohésion = - Somme des torseurs d’action à gauche de la
coupure
ou
torseur de cohésion = Somme des torseurs à droite de la coupure
Remarques :
Le torseur de cohésion (actions mécaniques intérieures) est modifié lorsque
l’on déplace la coupure le long de la poutre :
- Si une discontinuité d'ordre géométrique (changement de direction de la ligne
moyenne) apparaît (exemple : poutre en équerre).
- Si une discontinuité liée à une résultante nouvelle (ou un moment nouveau)
apparaît.
Composantes du torseur de cohésion :
N : Effort normal sur (G, )
|
Ty : Effort tranchant sur (G, ) |
Tz : Effort tranchant sur (G, ) |
Mt : Moment (couple) de torsion sur (G, ) |
| Mfy :Moment de flexion sur (G,) |
Mfz : Moment de flexion sur (G, ) |
3) SOLLICITATIONS
SIMPLES ET COMPOSEES :
Sollicitations
simples : Torseur de cohésion comprenant une seule sollicitation.
Sollicitations composées : Torseur de cohésion comprenant
plusieurs sollicitations simples (Traction + flexion par exemple).
Tableau regroupant les sollicitations simples les plus courantes
Sollicitations
|
Effort
normal |
Effort
tranchant |
Moment de
torsion |
Moment de
flexion |
Ecriture du
torseur de cohésion |
Traction/compression |
N
|
T =0 |
Mt =0 |
Mf =0 |
|
Cisaillement (1) |
N =0 |
T
|
Mt =0 |
Mf =0 |
|
Torsion |
N =0 |
T |
Mt
|
Mf =0 |
|
Flexion pure (2) |
N
|
T =0 |
Mt =0 |
Mf
|
|
(1) Suivant l'orientation des sollicitations, l'effort Ty ou Tz peut
être nul.
(2) Suivant l'orientation des sollicitations, le moment Mfy ou Mfz peut
être nul.
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4) NOTION de CONTRAINTE :
Notion de vecteur contrainte en un point.
Les actions mécaniques de cohésion sont les efforts que le tronçon (E2) exerce sur
le tronçon (E1) à travers la section droite (S) de la coupure fictive. Ces actions
mécaniques sont réparties en tous points de (S) suivant une loi a priori inconnue.
Notons Df l'action mécanique au point M et DS l'élément de surface entourant ce point. Soit x la normale issue
de M au plan de la section (S), orientée vers l'extérieur de la matière du tronçon
(E1).
On appelle vecteur contrainte au point M relativement à l'élément de surface DS orienté par sa normale extérieure  , le vecteur noté tel
que:
On définit ensuite les contraintes normales et tangentielles respectivement la
projection de sur la normale  , et la projection de sur le plan de l'élément de surface DS.
t : contrainte tangentielle (ou " de glissement ") si elle est dans la
direction de la section (cisaillement, torsion).
s :contrainte normale, si elle est
perpendiculaire à la section (extension, compression, flexion).
Comme la charge limite d'élasticité à laquelle elle doit rester inférieure, la
contrainte s'évalue dans le système légal en N/mm².
Pour une raison évidente d'économie de métal, on a intérêt à
déterminer la forme d'une pièce de manière que la contrainte en chacun de ses points
soit égale à la contrainte maximale admissible, mais la réalisation est parfois
exagérément coûteuse
Ce qu'il faut savoir :
F La contrainte est un vecteur. On utilise la plupart du
temps ses projections appelées contraintes normale et tangentielle. L'unité de la
contrainte est le rapport d'une force par une unité de surface (N/mm2, MPa).
F On peut dire en simplifiant, qu'une contrainte est une
force intérieure appliquée à l'unité de surface au point donné de la section donnée.
On pourra parler de densité de force par unité de surface.
F La contrainte est définie pour un solide idéal
(Hypothèses de la RdM). En réalité, les matériaux ne sont pas parfaitement homogènes.
Les joints de grains présents dans tous les alliages industriels créent des
hétérogénéités de structure et de composition. Néanmoins, les calculs réalisés
avec un milieu supposé continu donnent des résultats proches de la réalité.
Pour en savoir plus.
A quoi sert le calcul des contraintes ?
Expérimentalement, on a défini pour chaque matériau une contrainte limite admissible
au-delà de laquelle la pièce subit des détériorations de ses caractéristiques
mécaniques, dimensionnelles, voire une rupture. Le calcul de résistance des matériaux
consiste à vérifier que les contraintes engendrées par les sollicitations extérieures
ne dépassent pas la contrainte limite admissible par le matériau. Le calcul des
contraintes sert à évaluer la tension dans la matière.
Peut-on observer une contrainte ?
Une contrainte est un outil de calcul, on ne peut pas l'observer directement, par
contre on peut observer ses effets : études des déformations, études de la cassure,
photoélasticité. A l'aide des trois méthodes précédentes, on peut évaluer les
contraintes dans un matériau mais cela reste moins précis qu'un calcul de RdM à l'aide
d'un logiciel de calcul par éléments finis.
Quels sont les paramètres qui influencent les
contraintes ?
Nous avons vu précédemment que la contrainte est le rapport d'une force par une
surface. Les paramètres qui influencent directement une contrainte sont : les
sollicitations, la section de la poutre.
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